Probabiliteti statistikor

Posted by & filed under .

Pasqyra e  Lëndës

 

  1. Cfarë është probabiliteti?
    •  Pikpamja me frequenca  relative
    • Pikpamja  subjektive
  2. Matja e probabiliteteve me ndihmën e  kalibrimit të  experimentit
  3. Interpretimi për  shanset
  4. Listimi i gjithë  rezultateve të mundshme
  5. Rregullat  bazë të probabilitetit
  6. Rezultatet njëlloj të mundshme
  7. Ndërtimi i tabelës së probabilitetit duke listuar rezultatet.
  8. Ndërtimi i tabelës së probabiliteti me simulim
  9. Probabilitetet për ngjarjet  ”ose” dhe  “jo”
  10. Vlera mesatare  e  shpërndarjes  probabilitare
  11. Kuptimi për tabelat me dy drejtime të probabiliteve

 

INTERPRETIMI  PËR  SHANSET


Shpesh në media probabilitetet janë deklaruar apo nënkuptuar në lidhje me shanset ..

________________________________________
Thuhet në media se një skuadër e preferuar  ka shanse për të fituar një turne të futbollit në një raport apo marrëdhënie:  9-5. Çfarë do të thotë kjo?
Një shans i një ngjarje eshte raporti i probabiliteti që ngjarja nuk do të ndodhë me probabilitetin që ngjarja do të ndodhë. Si shembull për rastin tonë, supozojmë se ngjarja është “Skuadra  E  do të fitojë”. Por shanset  e kësaj ngjarje janë 9-5 ose 9/5. Kjo do të thotë se,

Shanset (Skuadra  E  nuk do të fitojë)
————————————————————– = 9/5-
Shanset (Skuadra  E  do të fitojë)
Kjo do të thotë se skuadra  A  ka më shumë gjasa për të humbur se sa të fitojë turneun e turnout, sepse në 14 ndeshje ajo mund të fitojë 5  dhe humb  9..
________________________________________


Si mund të konvertohen shanset në  probabilitete? Ka një recetë të thjeshtë. Në qoftë se shanset e një ngjarje  shprehen si  A me  B (ose A-B apo  A/B), atëhere probabiliteti i ngjarjes është sa raporti I shanseve që fiton me numrin e përgjithshëm të shanseve:

                                            B
   Probabiliteti(ngjarje) = ----------
                                          B + A

P.Sh., nëse shanset që të fitojë skuadra  E  janë  9-5 ose  9/5, atëhere probabiliteti që  E  fiton është

                                          5
   Probabiliteti(E fiton) = ---------- = .3571
                                         5 + 9

INTERPRETIMI PËR  FREKUENCËN RELATIVE TË PROBABILITETIT
________________________________________


jemi të interesuar për të mësuar në lidhje me probabilitetin e një ngjarje në ndonjë  proces. Për shembull, procesi jonë mund të jetë rrokullisja e dy zareve, dhe ne jemi të interesuar për probabilitetin e ngjarjes që  shuma e numrave mbi zare është e barabartë me 6.
Supozoni se ne mund të kryejmë këtë proces në mënyrë të përsëritur në kushte të njëjta. Në shembullin tonë, mendojmë se ne mund të rrokullisim dy zaret shumë herë, ku ne jemi të kujdesshëm për të rrokullisur  zaret në të njëjtën mënyrë çdo herë.
Supozojmë se kemi kryer këtë  eksperiment duke rrokullisur zaret 50 herë. Çdo herë që bëhet rrokullisja  regjistrohet  shuma e pikëve në faqet e sipërme të dy  zareve dhe supozojmë se kemi  rezultatet e mëposhtme:

4   10    6    7    5   10    4    6    5    6   11   11    3    3    6

7   10   10    4    4    7    8    8    7    7    4   10   11    3    8

6   10    9    4    8    4    3    8    7    3    7    5    4   11    9

5    5    5    8    5

Për të përafruar probabilitetin qe shuma është e barabartë me 6, bëjmë numërimin numri e  gjashtave në eksperimentin e supozuar(ato janë 5) dhe e pjestojmë atë me numrin e përgjithshëm të rezultateve në provat e bëra (ato janë 50). D.m.th,  probabiliteti i vëzhgimit të një  6 është përafërsisht  frekuenca relative e  6 .

 

 

 

# i 6′s                    5

PROBABILITETI (SHUMA ËSHTË 6) është afrësisht= ——————– = ——=0.1               .                                                                                                # i rrokullisjeve       50

 

Në përgjithësi, probabiliteti i një ngjarje mund të jetë i përafruar me frekuencën relative, apo proporcionin e herëve  që ngjarja ndodh.
# herëve që gnjarjë ndodh

PROBABILITETI (Ngjarjes) është afërsisht = ————————————

# I provave të bëra
Komente në lidhje me këtë përkufizim të  probabilitetit:
1. Frekuenca relative e vrojtuar është vetëm një përafrim me  probabilitetin e vërtetë të një ngjarje. Megjithatë, në qoftë se ne jemi në gjendje për të kryer procesin tonë gjithnjë e më shumë herë, frekuenca relative në fund do ti përqaset  probabilitetit aktual.. Ne mund të bëjmë demonstrim  për shembull me eksperimentin me zare. Nëse ne rrokullisim  dy zaret 100 herë, 200 herë, 300 herë, dhe kështu me radhë, ne do të vëzhgojmë se se përqindja e 6-ve  përfundimisht do të afrohej akoma më shumë  me probabilitetin e vërtetë që është  0,139.?(Probabiliteti teorik)
Secili mund ta provojë vetë këtë eksperiment me dy zare.
2. Ky interpretim e probabilitetit mbështetet në supozimin e rëndësishme që procesi apo eksperimenti jonë mund të përsëritet shumë herë në kushte të njëjta. Në rastet kur ky supozim është i papërshtatshëm, është e dobishëm interpretimi subjektiv i probabilitetit.

Interpretimi subjektiv i probabilitetit
Nocioni  “Frekuenca relative” i probabilitetit është i dobishëm kur procesi që  interesohemi, ta zemë,  hedhja e  një monedhe, mund të përsëritet shumë herë në kushte të ngjashme. Por ne dëshirojmë të merremi me pasigurinë e ngjarjeve në proceset që ajo do të ndodhë një herë të vetme. Për shembull, studenti  mund të jetë  I interesuar për mundësinë që do të vlerësohet me 10 në këtë provim. Ky provim jepet vetëm njëherë . Edhe sikur ky provim të merret në  semestrin  tjetër, studenti  nuk do ta marrë atë nën të njëjtat kushte si në këtë semestër. Studenti mund të ketë një pedagog tjetër, mund të jetë në një grup të ndryshëm nëse e përsërit lëndën, dhe ndoshta mund të ketë kushte të ndryshme studimi. Në mënyrë të ngjashme, mund të mendojmë kur jemi të interesuar për mundësinë që një skuadër fiton kampionatin e futbollit në vitin e ardhshëm.. Do të jetë vetëm një sezon futbolli vitin e ardhshëm që do të jetë krejt I ndryshëm nga ky I sivjetmi, kështu që nuk ka kuptim për të folur për mundësinë që një skuadër do të fitojë kampionatin e ardhshëm nën kushte të ngjashme.
Në rastin kur procesi do të ndodhë vetëm një herë,  si shikohen probabilitetet? Kthehemi në shembullin tonë në të cilën studenti është  i interesuar “të marrë një notë 10”. Një në këtë klasë”. I caktojmë një numër për këtë ngjarje (pra, një probabilitet të) i cili reflekton besimin tonë personal në kjo ngjarje ka gjasa të  ndodhë. Nëse studenti ecën  mirë në mësime dhe mendohet  se nota 10 është e sigurtë, atëherë ne do të caktonim një probabilitet me vlerë 1 për këtë ngjarje. Nëse studentiështë duke përjetuar vështirësi në klasë, ne mund të mendojmë se “të marrësh  një 10″ është më afër një pamundësie dhe kështu  do ti caktonim për të një  probabilitet të afërt 0. Po në qoftë se nuk nuk e dimë çfarë note ai do të marrë? Në këtë rast, ne do të caktonim një numër për këtë ngjarje midis 0 dhe 1. Përdorimi i një eksperiment kalibrimi është i dobishme për bërjen e një matje të mirë për probabilitetin e një ngjarje.

. Komente në lidhje me interpretimin subjektiv të probabilitetit:
• Një probabilitet subjektiv pasqyron mendimin e një personi për gjasat e një ngjarje. Nëse një ngjarje  është “Andi  do të mrrë  një dhjetë në mësim”, atëhere mendimin tim në lidhje me gjasat e kësaj ngjarje është ndoshta ndryshe nga opinioni i Andit në  lidhje me këtë ngjarje. Probabilitetet  janë personale dhe ata ndryshojnë në mes  njerëzve të ndryshëm.
• A mund të caktohet ndonjë numër për ngjarjet? Numrat ju duhet të caktohen duhet të jenë  probabilitete të duhur. D.m.th., , ata duhet të plotësojnë disa rregulla bazë që u binden të gjithë probabilitetet. Gjithashtu, ata duhet të reflektojnë opinionin e personave në lidhje me gjasat e ngjarjeve.
• Caktimi i probabiliteteve subjektive të ngjarjeve duket i vështirë. Sepse, është e vështirë të caktohen numra të ngjarjeve, sidomos kur jemi të pasigurtë nëse ngjarje do të ndodhë apo jo. Ne do të mësojmë më shumë për caktimin e probabiliteteve duke krahasuar ndodhitë  e ngjarjeve të ndryshme.

 

 

 

 

Matja e probabiliteteve me PËRDORIM të një eksperimenti Kalibrimi  


Probabilitetet në përgjithësi janë të vështirë për të matur. Është e lehtë të maten probabilitetet e ngjarjeve që janë tepër të rralla ose ngjarjeve që kanë shumë të ngjarë të ndodhin. Për shembull, mundësia  që hëna është prej djathi të gjelbër (një ngjarje e rrallë) është ndoshta më  afër me 0 dhe probabiliteti  që dielli nesër do të lindë (një veprimtari e sigurtë) ka gjasa 1. Por lë të konsiderojmë probabilitetin për ngjarjen “Do të ketë Krishtlindje një të bardhë(me borë) në të këtë vit”. Ju mund të mbani mend vitet në të kaluarën kur ka pasur në terren dëborë për Krishtlindje. Gjithashtu ju mund të kujtojnë vitet e fundit pa dëborë në terren në këtë stinë. Pra probabiliteti i kësaj ngjarje është më i madh se 0 dhe më i vogël se 1. Por si mendoni të merrni probabilitetin e saktë?
Për të matur lartësinë e dikujt ne kemi nevojë për një instrument matës të tillë si një vizore. Në mënyrë të ngjashme, ne kemi nevojë për një pajisje matëse për probabilitetet. Kjo pajisje matëse që ne përdorim quhet një eksperiment  kalibrimi. Ky është një eksperiment i cili është mjaft e thjeshtë në mënyrë që probabilitetet e rezultateve janë të lehtë për të përcaktuar. Përveç kësaj, këto probabilitete të deklaruara janë objektive, ku ju dhe unë do të caktonim të njëjtët probabilitete për rezultatet e këtij eksperimenti.
Eksperimenti i kalibrimit që ne përdorim quhet  eksperiment me petëza në një tas. Supozoni se ne kemi një tas me një numër të caktuar petëzash të kuqe dhe të bardha. Ne  tërheqim rastësisht mga tasi një petëz dhe ne jemi të interesuar për ngjarjen: “Tërhjiqet petëz e kuqe”.

 

Ky probabilitet  varet nga numri i petëzave në  tas. Nëse, për shembull, tasi përmban  1 të kuqe dhe 9  të bardha, atëherë mundësia e zgjedhjes së një të kuqe është 1 ndër 10 ose 1 / 10 = 0,1. Nëse tasi përmban 3 petëza të kuqe dhe 7  të bardha, atëherë probabiliteti i nxjerrjes të një te kuqe është 3 / 10 = 0,3. Nëse tasi ka vetëm petëza të kuqe (të themi 10 te kuqe dhe 0 të bardha), atëherë probabiliteti për petëz të  kuqe është 1. Në ekstremin  tjetër, me  0  të kuqe dhe 5 të bardha, probabiliteti për nxjerrje nga tasi të një  petëze të kuqe është 0 / 5 = 0.
Le të rikthehemi në ngjarjen tonë “Do të ketë një Krishtlindje të bardhë gjatë këtij viti”. Për të ndihmuar për të vlerësuar probabilitetin e saj, ne e krahasojmë dy baste – njëri bast për ngjarjen tonë dhe i dyti me ngjarjen “nxjirret një petëz e kuqe” nga eksperimenti i kalibrimit. Kjo është e ilustruar  më  mirë nga shembulli. Konsiderojmë këto dy baste:

  • Basti 1: Ju merrni 100 $ nëse do të ketë një Krishtlindje të bardhë dhe asgjë, nëse nuk ka një  Krishtlindje të bardhë.
  •  Basti 2: Ju merrni 100 $ nëse ju tërhiqni një petëz të kuqe nga tasi me 5 të kuqe dhe 5 të bardha dhe asgjë përndryshe.
    Cilin bast ju preferoni? Nëse ju preferoni Bastin 1, atëhere ju mendoni se ngjarja juaj e Krishtlindjeve me borë është me më shumë gjasa për të ndodhur se rasti për të tërhequr nga tasi një petëz të kuqe ku 5 janë të kuqe, dhe 5 të bardha. Mëqë probabiliteti i një të kuqe është 5 / 10 = 0,5, kjo do të thotë që probabiliteti për të patur Krishtlindje të bardhë i kalon 0,5. Nëse ju preferoni Bastin 2, atëhere me logjikë të ngjashme, probabiliteti për të patur Krishtlindje me borë është më i vogël se 0,5.
    Supozoni se ju preferoni Bastin 1 dhe ju e dini se probabiliteti juaj është më i madhe se 0,5, apo midis  0,5 dhe 1. Për të marrë një vlerësim më të mirë për probabilitetin, bëni një krahasim tjetër për bastet , ku basti  i dytë ka një numër të ndryshëm prej petëzash të kuqe dhe të bardha.

. Krahasojmë dy baste të tjerë
• Basti 1: Ju merrni 100 $ nëse ekziston një e Krishtlindje  të bardhë dhe asgjë, nëse nuk ka një Krishtlindje të bardhë .
• Basti 2: Ju merrni 100 $ nëse ju tërhiqni një petëz  të kuqe nga një tas me 7 petëza të kuqe dhe 3 të bardha,  dhe asgjë përndryshe.
Supozojmë se ju preferoni Bastin 2. Meqë probabiliteti për nxjerrjen e një  të kuqe nga një tas me  7 të kuqe dhe 3 të bardha është 7 / 10 = 0,7, kjo do të thotë që probabiliteti për të patur një Krishtlindje të bardhë duhet të jetë më i vogël se 0,7.
Ne kemi bërë tani dy gjykime për dy bastet. Gjykimi i parë na tregoi  se mundësia për të patur  Krishtlindje të bardhë është më i madh se 0,5 dhe në gjykimin e dytë na thuhet se probabiliteti për këtë ngjarje ështe më i vogël se 0,7. Cili është probabiliteti ynë? Ne nuk e dimë vlerën e saktë ende, por ne e dimë se ajo duhet të bjerën në mes të 0,5 and. 0.7. Ne mund të përfaqësojmë probabilitetin tonë me një interval të vlerave në një segment, ose bosht numerik.
Probabiliteti jonë që Krishtlindja të jetë diku si në figurë, dhe vlerat e probabilitetit janë 10-fishuar për perceptim më të mirë:
*********

+—-+—-+—-+—-+—-+—-+—-+—-+—-+—-+

0   .1   .2   .3   .4   .5   .6   .7   .8   .9    1
Po në qoftë se kemi dashur të marrim një vlerësim më të saktë për probabilitetin tonë? Ne kemi nevojë për të bërë më shumë krahasime midis basteve. Për shembull, ne mund të krahasojmë dy baste, ku në bastin  e parë është përdorur ngjarja tonë dhe në të dytin është përdorur ngjarja “nga tasi me 6 të kuqe dhe 4 të bardha tërhiqet petëz e kuqe”. Pas një numri provash të këtyre krahasimeve, ne mund të mearrim një vlerësim mjaft të saktë të probabilitetit tonë.

 

LISTIMI  I të Gjitha Rezultateve të Mundshme (Hapësira e Rezultateve)


________________________________________
Supozoni se ne do të vëzhgojmë një proces apo eksperiment në të cilën rezultati nuk është i njohur më parë. Për shembull, mendojmë se kemi në plan të rrokullisim  dy zare dhe ne jemi të interesuar për shumën e dy numrave që do të shfaqeshin në faqet e sipërme. Para se ne mund të flasim për probabilitetet e shumave të ndryshme, ta zemë  3 ose 7, ne duhet të kuptojmë se çfarë rezultate janë të mundshme në këtë eksperiment.
Në qoftë se ne rrokullisim dy zare, secili zar do të tregonte faqet me  1, 2, 3, 4, 5, 6 pikë. Pra, shuma e pikëve në dy faqet mund të jetë çdo numër I plotë nga 2 -12. Ne e quajmë këtë grup të rezultateve të mundshme në eksperiment tonë  hapësirë e rezultateve ose  mostër. Këtu hapësira e rezultateve  mund të shkruhet si:
Hapësira e Rezultateve = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Le të marrim në konsideratë bashkësinë  e të gjitha rezultateve të mundshme për eksperimente të tjera me rastësi.  . Supozoni se ne kemi në plan të hedhim një monedhë 3 herë dhe rezultati i interesimit tonë është  numri i stemave . Hapësira e rezultateve në këtë rast përbëhet nga  numrat e ndryshëm të stemave që mund të merrni nëse një monedhë hidhet tri herë. Këtu ne mund të marrim  0  stema,  1, 2 ose 3 stema, kështu që kemi hapësirën erezultateve si vijon:

. Hapësira e rezultateve = {0, 1, 2, 3}

Mos harroni për të përfshirë rezultatin 0 – nëse hedhja një monedhe tri herë jep vetëm anën tjetër(Lek) nga, numri i gjithë stemave është e barabartë me 0.
Koncepti i një hapësire rezukltatesh është gjithashtu e rëndësishëm për eksperimentet ku rezultatet janë jo-numerike. Mendojmë se bëhet tërheqje e një karte nga një tufë me letra standarde për të luajtur. Nëse unë jam i interesuar në shembullin e kartës, ka katër rezultateve të mundshme dhe hapësirë të mostrës është
hapësirë Sample = (MaÇ, Zemra, Karro, Lule)
Nëse unë jam i interesuar për kategorinë e letrave, atëherë ka katër  rezultate që mund  të jenë te mundura. Dikush mund të përfaqësojë hapësirën me një nga tabelat e mëposhtme:

Hapësira e rezultateve = {MaÇ, Zemër, Karro, Lule}

Po të interesohemi  brenda kategorisë për fytyrën e letrës, janë shumë rezultate të mundshme. Për rastin e kategorive me shpatë , zemër etj, ato mund të paraqiten me tabelën:

FYTYRA  E  LETRËS

TIPI        2    3    4    5    6    7    8    9   10    J    Q    K    A

———————————————————————–

MaÇ…..    x    x    x    x    x    x    x    x    x     x     x     x    x

Zemër     x    x    x    x    x    x    x    x    x     x     x     x    x

Karro       x    x    x    x    x    x    x    x    x     x     x     x    x

Lule         x    x    x    x    x    x    x    x    x     x     x     x    x

 

Çdo “x” në tabelë i korrespondon një rezultati të caktuar të eksperimentit. Për shembull, ” x”  i parë në rreshtin e tretë të tabelës i korrespondon tërheqjes të një  2  Karro. E shohim nga kjo tabelë që ka 52 rezultate të mundshme.
Pasi ne e kuptojmë se si duket gjithë koleksioni i rezultateve të mundshme, ne mund të mendojnë për caktimin probabiliteteve të rezultateve të ndryshme. Por duhet qënë i kujdesshëm – sepse mund të bëhet caktim i  probabiliteteve të pasakta, përshkak të  gabimeve në saktësimin e të gjithë hapësirës së rezultateve.

.

RREGULLAT E  PROBABILITETIT


Supozoni se një proces i rastit rezulton me një numër të ndryshëm të rezultateve. Një hapësirë  është një listë e të gjitha rezultateve të tilla. Si shembull, mendojmë se jemi te interesuar për sasinë e kohës (në minuta), që duhet për të udhëtuar me makina deri tek puna në këtë mëngjes. Bazuar në përvojën e mëparshme , dihet se ka katër mundësi të ndryshme. Pra, hapësira e rezultateve duket si në vijim

:

 

REZULTATI

Duhen më pak se 30 minuta
Duhen 30 deri në  35 minuta
Duhen 35 deri në  40 minuta
Duhen mbi  40 minuta
 
  • Na duhet  të caktojmë probabilitetet  e këtyre katër rezultateve. Para se tu bashkëngjitim  numra aktualë  këtyre rezultateve, ne duhet së pari të pyesim: A ka rregulla që duhet të plotësojnë probabilitetet?
    Po, probabilitetet duhet të plotësojnë tri rregulla të përgjithshme:
    • Çdo probabilitet i caktuar duhet të jetë një numër jo-negativ.
    • Mbledhja(shuma) e të gjitha rezultateve të mundshme të hapësirës së dhënët  është e barabartë me 1.
    • Nëse ne kemi  dy rezultate që nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë, atëherë probabiliteti që cilido rezultat mund të ndodhë është sa shuma e probabiliteteve të  rezultateve individuale.
    Si të përdorim këto rregulla për të caktuar probabilitetet në shembullin e  mësipërm për udhëtimin me makinë  “për të punuar”?

Rregulli i parë na tregon se probabiliteti nuk mund të jetë negativ, kështu që nuk ka kuptim që të caktohet vlera  -1, Ta zemë, për ngjarjen “duhen mbi 30 minuta”. Rregullat e dytë dhe e tretë  na tregojnë se probabilitetet  që ne të caktojmë në një koleksion me elementë apo rezultate jo të përbashkët duhet ta kenë shumën  1. Rezultate jo të përbashkët  do të thotë se ata nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë. Për shembull, ngjarjetet:  “duhen mbi 20 minuta” dhe “duhen nën 30 minuta” janë të ndërthurura me njëra tjetrën sepse ato të dy mund të ndodhin në të njëjtën kohë (në qoftë se, ta zemë, udhëtimi zgjat 24 minuta). Ngjarjet “duhen nën 20 minuta” dhe “duhen mbi 25 minuta” janë jot ë ndërthurura, pasi jo më shumë se një nga këto dy ngjarje mund të ndodhë në të njëjtën kohë.

Duke patur parasysh këto rregulla në tabelën më poshtë janë caktuar tri vlera hipotetike për probabilitetin, të cilat u përgjigjen katër personave.

.

FOUR SETS OF PROBABILITIES

OUTCOME

Maksi

Jani

Suela

Maria

Duhen më pak se 30 minuta 0.3 0.2 0.4 0 0
Duhen 30 deri në  35 minuta -0.1 0.3 0.4 0.2
Duhen 35 deri në  40 minuta 0.4 0.4 0.1 0.8
Duhen mbi 40 minuta 0.4 0.3 0.1 0 0
         

Kush ka bërë caktime legjitime për probabilitetet në tabelën e mësipërme? Ka probleme me probabilitetet që kanë caktuar Maksi dhe Jani. Jani nuk mund ti japë ngjarjes apo rezultatit ” Duhen 30 deri në  35 minuta ” një probabilitet negativ, pa marrë parasysh se sa ka të ngjarë që ky rezultat të ndodhë. Jani ka bërë një gabim, që duket  nga shuma e probabiliteteve të  tij për të katër rezultatet jo prerëse është 1,2, e cila nuk është e barabartë me 1.
Suela dhe Maria  kanë dhënë  grupe të probabiliteteve legjitime, pasi ato janë që të gjitha janë jo-negative dhe me shumën  1. Por ka dallime midis këtyre dy grupeve të probabiliteteve, të cilat pasqyrojnë opinione të ndryshme nga këta dy persona në lidhje me gjatësinë e kohës për të udhëtuar. Suela është relativisht optimiste në lidhje me kohën për të arritur në punë, meqë  0,8 e probabilitetit të saj është në rezultatet e “nën 30 minuta” dhe “në mes të 30 dhe 35 minutave”. Në të kundërt, Maria beson se një udhëtim nën 30 minuta nuk do të ndodhë kurrë (ajo ka një probabilitet  0) dhe nga kjo është shumë e mundshme që do të duhet një kohë në mes të 35 dhe 40 minutave.

LLOGARITJA E  PROBABILITETEVE  ME  REZULTATE  NJËLLOJ  TË  MUNDSHME


Para se të mund të llogaritim ndonjë probabilitet për rezultatet në procesin e rastit, ne duhet të përcaktojmë hapësirën e mostrës, ose grumbullimin e të gjitha rezultateve të mundshme. Nëse ne kemi hapësirën për të gjitha rezultatet dhe është e arsyeshme të supozojmë se rezultatet janë të mundshme në mënyrë të barabartë, atëherë është e lehtë të caktojmë probabilitetet.
Le të konsiderojmë një lojë të thjeshtuar llotarie. Supozoni se kemi një lojë ku duhet të përpiqemi të mendojmë për një numër të rastit dy-shifror që është zgjedhur. Ky numër i rastit “fitues” është për tu zgjedhur sipas procedurës në vijim. Ka dy kuti, të etiketuara: kutia  A dhe  kutia B, ku secila prej tyre përmban 10 topa ping-pongu të etiketuara duke përdorur shifrat nga  0 deri tek  9. Një numër i rastit është zgjedhur duke u formuar në mënyrë që shifra e parë të jetë numri i topit të zgjedhura nga kutia  A, dhe shifra e dytë është numri i topit të zgjedhura nga kutia B.

Cila është hapësira e rezultateve? Janë  100  numra me dy shifra të mundshëm për të qënë fitues dhe që janë listuar në tabelën e mëposhtme:

00    01    02    03    04    05    06    07    08    09

10    11    12    13    14    15    16    17    18    19

20    21    22    23    24    25    26    27    28    29

30    31    32    33    34    35    36    37    38    39

40    41    42    43    44    45    46    47    48    49

50    51    52    53    54    55    56    57    58    59

60    61    62    63    64    65    66    67    68    69

70    71    72    73    74    75    76    77    78    79

80    81    82    83    84    85    86    87    88    89

90    91    92    93    94    95    96    97    98    99

 

Nga mënyra se si numri me dy shifra është zgjedhur, nuk ka ndonjë numër të veçantë të shënuar më lartë që ka mundësi apo shans  më shumë ose më pak për të qenë i zgjedhur në krahasim me  një numër tjetër. Pra, është e arsyeshme të caktojmë njëjtin probabilitet për çdo numër në listë. Çfarë duhet të caktohet si probabilitet? Ka 100 numra të mundshëm për tu fituar. Nëse ne dëshirojmë të caktojmë të njëjtin probabilitet për çdo numër dhe të sigurojmë që probabiliteti total i të gjithë numrave të jetë i barabartë me 1, atëhere  çdo numëri  duhet t’i jepet probabiliteti 1 / 100 = 0,01.
Në përgjithësi, nëse ka N rezultate të mundshme në një eksperiment dhe rezultatet janë të mundshme në mënyrë të barabartë, atëherë  duhet të caktohet një probabilitet prej 1 / N për çdo rezultat.
 

KUJDES: Kjo recetë për përcaktimin e probabiliteteve punon vetëm kur rezultatet janë të mundshme në mënyrë të barabartë. Është e lehtë të keqpërdoret kjo gjë. Për shembull, mendojmë që  hedhim një monedhë tri herë dhe se jemi të interesuar për numrin e stemave. Numrat e mundshëm për stemat  (hapësira e rezultatever) janë
0 stema,  1 stemë, 2 stema , 3 stema
Ka katër rezultate në këtë rast. Por është e gabuar të supozohet se probabiliteti  i çdo rezultati është 1 / 4 = 0,25. Këto katër rezultatet nuk janë të mundshme në mënyrë të barabartë. Në fakt, probabiliteti i 1 steme është sa 3-fishi i probabilitetit të 3 stemave.

.

 

NDËRTIMI I SHPËRNDARJES PROBABILITARE ME ANË  TË LISTIM IT TË REZULTATEVE.


Në një eksperiment të rastit, hapësir  e rezultateve është koleksioni e të gjitha rezultateve të mundshme. Në disa situata, është e arsyeshme të supozohet se të gjitha rezultatet e mundshme të eksperimentit janë njësoj të mundshme. Në këtë rast, llogaritja  për shpërndarjen e probabiliteteve të disa variabla të interesit bëhet drejtpërdrejt.
Le të ilustrojmë këtë proces të ndërtimit për një shembull të thjeshtë. Supozojmë se në  një dhomë janë dy burra dhe tri gra. Ju dëshironi të zgjidhni dy njerëz nga kjo klasë për të shërbyer në një komision. Sa femra  do të ketë në këtë komision? Ne nuk e dimë –se sa  mund të jetë numri i grave në komision:  0, 1 ose 2. Ne jemi të interesuar për vlerat  e probabiliteteve për secilën nga tre mundësitë.
Së pari, ne do të përfaqësojmë personat në dhomë duke përdorur simbolet:

 

G1 G2 G3 B1 M2

 

 

 

Në tabelë, G përfaqëson një grua dhe B një burrë dhe ne bëjmë kështu dallimin në mes të njerëzve të të njëjtit seks duke përdorur indekse.
Eksperimenti ynë është  për të zgjedhur dy njerëz për të shërbyer në komisionin. Përdorimi i simboleve tona për njerëzit, tregon se  janë  10 komisione të mundshme. Vini re se ne nuk  kujdesemi për mënyrën që dy njerëz janë të zgjedhur, ne jemi të interesuar vetëm për grupin e njerëzve në komision. Nëse do të zgjidhnim  komitetin në mënyrë  të rastësishme, atëherë secili grup i mundshëm tmedy njerëz ka të njëjtën mundësi për të qenë  i përzgjedhur. Meqë  ka 10 grupe, ne i caktohjme çdo komisioni probabilitetin  1/10 që të jetë e mundur për tu zgjedhur

 

KOMISIONI

PROBABILITETI

G1, G2

1/10

G1, G3

1/10

G2, G3

1/10

B1, G1

1/10

B1, G2

1/10

B1, G3

1/10

B2, G1

1/10

B2, G2

1/10

B2, G3

1/10

B1, B2

1/10

 

Mos harroni QË interesimi jonë ishte për numrin e grave në komision. Për çdo komision të shënuar më sipër, ne mund të listojmë  numrin të grave të zgjedhura. Për shembull, në komisionin (G1, G2), 2 gra u zgjodhën, për komisionin (B2, G3), 1 grua ishte zgjedhur, dhe kështu me radhë. Ne tabelën më poshtë kemi vënë numrin e grave pranë secilit  grup. Shikoni  në tabelë.

KOMISIONI

#  I GRAVE

PROBABILITETI

G1, G2

2

1/10

G1, G3

2

1/10

G2, G3

2

1/10

B1, G1

1

1/10

B1, G2

1

1/10

B1, G3

1

1/10

B2, G1

1

1/10

B2, G2

1

1/10

B2, G3

1

1/10

B1, B2

0

1/10

Tani ne jemi të gatshëm për të ndërtuar tabelën tonë probabiltare për “numrin e grave”. Në tabelën e mëposhtme, ne listojmë të gjithë numrat e mundshme e grave ne mund të zgjedhim:  (0, 1 apo 2). Pastaj ne caktojmë probabilitetet për tre rezultatet duke përdorur tabelën e mësipërme.
Sa është probabilteti që janë zgjedhur  0 gra?. Duke parë tabelën, shohim se 0 gra do të thotë se komisioni I zgjedhur ështe (B1, B2) i cili e ka probabilitetin  1 / 10. Pra probabiliteti i 0 grave është 1 / 10.
Sa është probabilteti se pikërisht 1 grua është zgjedhur? Duke parë tabelën, shohim se ne kemi zgjedhur pikërisht 1 grua kur komisioni I zgjedhur është: (B1, G1), (B1, G2), (B1, G3), (B2, G1), (B2, G2), (B2,G3 ) Duke mbledhur probabilitetet e gjashtë rezultateve, ne shohim se probabiliteti i 1 gruaje në komision është 6 / 10. Do të jetë e lehtë për ne për të gjetur probabilitetin që të jenë zgjedhur dy gra. Duke i vendosur  këto të gjitha së bashku, arrijmë në shpërndarjen e probabiliteteve  te mëposhtme për numrin e grave:

 

# I GRAVE

PROBABILITETI

0

1/10

1

6/10

2

3/10

 

 

NDËRTIMI I SHPËRNDARJES PROBABILITARE  ME  SIMULIME


mund të jetë e vështirë për të ndërtuar një shpërndarje të probabiliteteve. Megjithatë, mendojmë se ne mund të kryejmë procesin e rastit shumë herë. Për shembull, nëse ne jemi të interesuar për probabilitetin e marrjes së një shume prej 6 pikësh kur rrokullisen dy zare, ne mund të rrokullisim dy zaret shumë herë. Nëse qëllimi ynë është për të gjetur probabilitetin e rënies  së  10 stemave në 20 hedhje të një monedhe të rregullt, ne mund të hedhim monedhën një numër të madh herësh. Pastaj, duke përdorur nocionin e frekuencës relative për probabilitetin, ne mund të përafrojmë probabilitetin e një rezultati të caktuar me anë të  proporcionit të numrit të herëve që rezultati ndodh në eksperimentin tonë. Nëse do të gjejmë probabilitetet  për të gjitha rezultatet e eksperimentit në këtë mënyrë, ne kemi ndërtuar shpërndarjen e probabiliteteve. Saktësia e këtyre probabiliteteve të përafërta do të përmirësohet me rritjen e numrit të përsëritjeve të eksperimentit.
Le të ilustrojmë këtë metodë të ndërtimit të një shpërndarje probabiliteti  duke e konsideruar eksperimentin me hedhje të një monedhe të rregullt 20 herë. Ne jemi të interesuar për shpërndarjen e probabiliteteve  për numrin e përgjithshëm të rënieve të monedhës nga faqja Historike(faqja që përmban një pamje që tregon fytyrën e një personi apo një objekti të njohur në histori). Rezultatin e marrë kur monedha bie nga kjo faqe e shënojmë me  H(nga faqja Historike). Rezultatin e marrë kur monedha bie nga kjo faqe tjetër, që përmban numrin sa vlera e monedhës e shënojmë me T(Tjetra).  Atëhere regjistrohen rezultatet me numrin e  H  të vrojtuara. Mund të përdoret kompjuter për të simuluar(imituar)  20 hedhje të monedhës.

 

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

 

Hyrje për simulimet probabilitare:
     Të mësuarit e Simulimeve probabilitare shfrytëzon konceptet e probabilitetit teorik dhe eksperimental për të zgjidhur problemet që përfshijnë pasigurinë.. Ne mund të kryejmë simulimet probabilitare të rezultateve për shumë probleme të objekteve që ne marrim dhe ato duhet të kenë numër të njëjtë të rezultateve si numër të rezultateve të mundshme të problemës, dhe të gjitha rezultatet duhet të jenë njëlloj të mundshme.

Të Mësuarit e Probabiliteteve teorike dhe eksperimentale:
Probabilitetet teorike te operacioneve kryhen matematikisht dhe ato përshkruajnë se çfarë duhet të ndodhë.
Probabiliteti eksperimental është i llogaritur duke përdorur të dhënat nga testet ose eksperimentet. Probabiliteti eksperimental eshte I barabartë me raportin e numrit të herëve që një rezultat ka ndodhur me numrin e përgjithshëm të ngjarjeve apo provave. Ky lloj raporti është etiketuar si  frekuenca relative.
Probabiliteti eksperimental = (frekuenca e një rezultati) / (numri i përgjithshëm i provave)

Studim ose të mësuar empirik:
Ai është i dobishëm për të kryer një eksperiment në mënyrë të përsëritur, për të mbledhur dhe për të kombinuar të dhënat, dhe për të analizuar rezultatet. Kjo është e njohur si një studim ose të mësuar.empirik

. Të mësuarit se si të kryhen Simulimet Probabilitare:
Një simulim probabilitar bëhet për të mësuar dhe për të llogaritur një probabilitet eksperimental duke përdorur objekte të problemeve për të realizuar një ngjarje e cila do të ishte e vështirë ose jopraktike për ta kryer me mjete apo mënyrë të natyrshme. P.Sh.,: janë 4 balona me hidrogjen, të bardha ose të kuqe. Cili është kombinimi I tyreqë ka më shumë të ngjarë ? Ne nuk mund të bëjmë manpulime me balonat sepse ato janë shumë të mëdha, dhe jo praktike për t’I future në klasë, prandaj bëhet simulim (imitim) për aktivitetin me objekte të vegjël si: 4 gogla ku 2 të jenë të kuqe dhe  2 të bardha, ose me eksperiment virtual duke përdorur program kompjuterik.
Shembull 1
:
Një djalë  ka katër topa (2 zinj dhe 2 të kuq). Cila është përzierja e topave të zinj dhe të kuq që ka më shumë të ngjarë ?
Supozojmë se P (top i zi) = P (e kuqe top) = ½.
(A). Cilat objekte mund të përdoren për të simuluar(për të imituar objektet dhe provat që bëhen në mënyrë të natyrshme) rezultatet e mundshme të topave?
Çdo top mund të jetë I zi ose i kuq, kështu që ka  2 x 2 x 2 x 2 ose 16 rezultate të mundshme.(Ky është numri I kombinimeve të dy ngjyrave të katër topave)  Përdoret një simulim që edhe ai ka 2 rezultate për secilën nga 4 ngjarjet. Një simulim i mundshëm do të ishte të hidhnim katër monedha, nga një për secilin top, ku  faqet që përmbajnë fytyrë ose objekt historik(H) të përfaqësojnë topat e zinj dhe faqet e tjera të përfaqësojnë topat e kuq.
(B). Gjehet probabiliteti teorik se ka dy topa të kuq dhe dy topa të zinj.
Ka 16 rezultate të mundshme, dhe numri i kombinimeve që ka dy të kuq dhe dy të zinj është 4C2 ose 6(numri I kombinacioneve të 4 objekteve duke marrë dy në një herë).
Pra probabiliteti teorik është:

 

Probabiliteti  me  Simulime

Procedura më e zakonshme për  eksperimentet tipike të probabilitetit me simulime është: Kryehen eksperimentet në mënyrë të zakonshme me të gjithë klasën dhe pastaj realizohen simulime  për të krijuar një numër të madh të provave.
Me simulime mund të arrihet në kryerje eksperimenti për të prodhuar mijëra prova. Sa kohë do ti duhet kompjuterit për të simuluar hedhje të dhjetë monedhave ku secila të hidhet dhjetë milion herë?  Me kompjuter ky eksperiment virtual realizohet brenda një kohe shumë të shkurtër, dhe të pallogaritshme në krahasim me kohën që do të na duhej ne për ta kryer këtë eksperiment në mënyrë të natyrshme.

Ndërsa kryhet ky eksperiment virtual me hedhje të monedhave, neve na shfaqet në ekran  një tabelë apo diagramë me shtylla  që tregon shpërndarjen e rezultateve.

Secili mund ta provojë vetë këtë eksperiment virtual me hedhje të monedhave, po ashtu me rrotullim të një disku të ndarë në sektorë dhe me shigjetë(gjilpërë) që rrotullohet mbi sipërfaqen e diskut), apo eksperimente me natyrë tjetër. Këto gjenden të regjistruara dhe depozituara në faqet internet.